Другие журналы
Сетевое издание Математика и математическое моделирование

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл. № ФС 77-61857. ISSN 2412-5911

Стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и уравнения Максвелла

Математика и математическое моделирование # 06, декабрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138
Файл статьи: Mathm_Dec2015_001to016.pdf (356.29Кб)
автор: Волков Б. О.1,2,*

УДК 517.98

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
2Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия

Одна из основных причин интереса к лапласиану Леви и его аналогам таким, как даламбертиан Леви, заключается в связи этих операторов с калибровочными полями. Теорема, доказанная Л. Аккарди, П. Джибилиско и И.В. Воловичем (см. [5,6]) утверждает, что связность в расслоении над евклидовым пространством (над пространством Минковского) является решением уравнений Янга-Миллса тогда и тогда, когда соответствующий связности параллельный перенос является решением уравнения Лапласа для лапласиана Леви (уравнения Даламбера для даламбертиана Леви).
Для определения операторов типа Леви можно использовать два подхода, которые оба восходят к оригинальным работам П. Леви (см. [7]). Первый из них заключается в том, что лапласиан Леви (или даламбертиан Леви) определяется как интегральный функционал, порожденный специальным видом второй производной. Такой подход используется в работах [5,6], а также в работе [8] Р. Леандра и И.В. Воловича, где рассматривался стохастический лапласиан Леви. Другой подход к определению лапласиана Леви заключается в том, что лапласиан Леви задается как среднее Чезаро вторых производных вдоль семейства векторов, являющегося ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве. Такое определение лапласиана Леви использовалось для описания решений уранений Янга-Миллса в работе [10].
В настоящей работе показывается, что определения лапласиана Леви и даламбертиана Леви, основанные на чезаровском усреднении вторых производных по направлению, переносятся на стохастический случай. В статье находятся значения этих операторов на стохастическом параллельном переносе, ассоциированным со связностью (вектором-потенциалом). Показано, что в отличие от детерминированного случая и в отличие от случая стохастического лапласиана Леви из [8] эти значения не обращается в ноль, если соответствующий стохастическому параллельному переносу вектор-потенциал является решением уравнений Максвелла. Как следствие, два способа определения лапласиана Леви в стохастическом случае задают различные операторы, что отличается от детерминированного плоского случая, разобранного в [11].
Можно ожидать, что результаты работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса.

Список литературы:
  1. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Операторы Лапласа–Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Математические заметки. 2002. Т. 72, № 1, C. 145-150
  2. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений с лапласианом Леви на бесконечномерных многообразиях // Доклады Академии наук. 2006. Т. 407, № 5, С. 1-6 .
  3. Арефьева И.Я., Волович И.В. Функциональные высшие законы сохранения в калибровочных теориях // Обобщенные функции и их применения в математической физике. Тр. Междунар. конф., ВЦ АН СССР, М., 1981. С. 43–49
  4. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 c.
  5. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russ. J. Math. Phys. 1994. Vol. 2, № 2, pp. 235-250.
  6. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations // Rendiconti Lincei. 1993. Vol. 4, № 3, pp. 201-206. DOI:10.1007/BF03001574
  7. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа.//М: Наука, 1967. 512 c.
  8. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2, pp. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449
  9. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006, xiv+382 p.
  10. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, № 4, 1250027-1/19. DOI: 10.1142/S0219025713500276
  11. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, № 2, C. 241–258.
  12. Волков Б.О. Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла // Математика и математическое моделирование
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2017 «Математика и Математическое моделирование» Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)