Другие журналы
Сетевое издание Математика и математическое моделирование

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл. № ФС 77-61857. ISSN 2412-5911

Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла

Математика и математическое моделирование # 05, октябрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0515.0820322
Файл статьи: Mathm_Oct2015_001to016.pdf (360.32Кб)
автор: Волков Б. О.1,2,*

УДК 517.98

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
2Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия

В статье по аналогии с лапласианом Леви введена стохастическая дивергенция Леви и изучена ее связь с уравнениями Максвелла (коммутативным случаем уравнений Янга — Миллса) на евклидовом пространстве и пространстве Минковского.
Одна из основных причин интереса к дифференциальным операторам типа Леви — это их связь с калибровочными полями. Доказано [7,8], что связность в тривиальном векторном расслоении, базой которого является евклидово пространство или пространство Минковского, является решением уравнений Янга — Миллса тогда и только тогда, когда порожденный связностью параллельный перенос является решением уравнения Лапласа для Лапласиана Леви или уравнения Даламбера для Даламбертиана Леви соответственно. В [9] был введен стохастический лапласиан Леви, при этом было найдено его значение на стохастическом параллельном переносе. В указанных выше работах лапласиан Леви определялся как интегральный функционал, порожденный специальным видом второй производной.
Существует другой подход к определению лапласиана Леви, основанный на чезаровском усреднении частных производных. В рамках этого подхода Лапласиан Леви можно определить как бесконечномерный лапласиан, порожденный следом Леви (след Леви равен среднему Чезаро диагональных элементов), а дивергенцию Леви можно определить как бесконечномерную дивергенцию, порожденную этим же следом. Стохастическая дивергенция Леви определяется по аналогии как оператор, действующий на пространстве непрерывных линейных операторов из пространства Камерона — Мартина (пространства дифференцируемости) меры Винера в некоторое соболевское пространство над этой мерой. В статье выводится бесконечномерное уравнение, содержащее указанную дивергенцию, при этом уравнение таково, что стохастический параллельный перенос является решением этого уравнения тогда и только тогда, когда соответствующая связность является решением уравнений Максвелла. Полученное уравнение является бесконечномерным аналогом уравнения движения кирального поля. В работе также показано, что значение функционала действия Максвелла на связности (векторе-потенциале) совпадает со значением бесконечномерного аналога функционала Дирихле для киральных полей на порожденном связностью стохастическом параллельном переносе. Этот аналог функционала Дирихле получен с помощью чезаровского усреднения.

Список литературы
  1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. II. Дифференциальные операторы и их преобразования Фурье // Труды Моск. Мат. Общества. 1972. Т. 27. С. 249-262
  2. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Операторы Лапласа–Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Математические заметки. 2002. Т. 72, № 1, C. 145-150
  3. Арефьева И.Я., Волович И.В. Функциональные высшие законы сохранения в калибровочных теориях // Обобщенные функции и их применения в математической физике. Тр. Междунар. конф., ВЦ АН СССР, М., 1981. С. 43–49
  4. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 c.
  5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения, 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1986, 760 с.
  6. Accardi L., Bogachev V.I., The Ornstein-Uhnlenbeck process associated with the Levy-Laplacian and its Dirihlet form // Probability and Mathematical Statistics. 1997. Vol. 17, pp. 95-114.
  7. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russ. J. Math. Phys. 1994. Vol. 2, № 2, pp. 235-250.
  8. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations // Rendiconti Lincei. 1993. Vol. 4, № 3, pp. 201-206. DOI:10.1007/BF03001574
  9. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2, pp. 151-172.DOI: 10.1142/S0219025701000449
  10. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006, xiv+382 p.
  11. Polyakov A.M. Gauge fields as rings of glue // Nuclear Physics B. 1980.Vol. 164, pp.171–188. DOI:10.1016/0550-3213(80)90507-6
  12. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, № 4, 1250027-1/19. DOI: 10.1142/S0219025713500276
  13. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, № 2, C. 241–258.
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2017 «Математика и Математическое моделирование» Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)